第46章 横推二试，惊呆刘兴明
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此时。
考试时间过去20分钟。
其余四人还在对着一试填空题抓耳挠腮的时候，林决已经看完二试第一道大题的题干。
【如图，设△ABC 内接于圆 γ，∠BAC 的角平分线与 BC 交于点 D，P 为线段 AD 上一点，直线 BP 交 AC 于点 E，直线 CP 交 AB 于点 F，设圆 γ 在点 A 处的切线与直线 EF 交于点 Q；
求证：PQ∥BC。】
看完题干，林决脑海迅速反应出，这是一个典型的三线共点 + 切线 + 平行"问题，适合用同一法结合梅涅劳斯定理和塞瓦定理来证明。
直接证明 PQ∥BC 比较困难，所以林决采用的是同一法。
他笑了笑，抬笔快速写着。
“过点 P 作直线 l∥BC，交 AB 于 X，交 AC 于 Y，交 AQ 于 Q' 只需证明 Q' 与 Q 重合，即证 E、F、Q' 三点共线。”
再接着，利用位似与切线性质推导比例关系，又是一连串推导后。
得出Q'X/Q'Y = (BD/DC)² 。
下一步，应用塞瓦定理与梅涅劳斯定理。
再接着，转化比例关系。
最后，再将之前的几步式子分别代入推导。
【.....(YE/EA)・(AF/FX)・(XQ'/Q'Y) = (DC/BD)²・(BD/DC)² = 1
以上可证：E、F、Q' 三点共线，因此 Q' 就是直线 EF 与 AQ 的交点 Q。
因为 Q' 在过 P 且平行于 BC 的直线上，所以 PQ∥BC。】
6分钟后，第一道题完成！！！
看着已经写满了一整页的推导过程，林决只觉得神清气爽，差点忍不住轻哼起来。
这种题才对胃口啊！
在推导过程中只要稍微出现点偏差，便是满盘皆输，简直太刺激了！
简单检查一遍，确认整个过程没有任何纰漏之后，林决迫不及待看向了下一道题。
与此同时。
站在林决旁边，看着他把整道题做完的刘兴明已经懵了。
他抬手看了眼时间。
六分钟啊！这小子六分钟就做完了二试的一道题！？
要知道，虽然二试总共有四道题，但考试的时间却有近三个小时啊！
就算第一道是二试中最简单的，一般竞赛生分配到这道题的时间，也要接近半个小时了！
但林决呢！？只用了五分钟。
更让刘兴明觉得夸张的是，这五分钟还不是林决的极限。
因为这道题需要书写的步骤太多了！
在他视角中，林决仿佛是看完提干后，就在脑子里把整个解题完成了一样！
而且刘兴明刚才仔细看了看。
林决所有的步骤都是正确的，那几个明显有陷阱的地方，也被他轻易解决。
刘兴明扪心自问，如果是自己第一次面对这道题，恐怕至少也要二十多分钟才能解出来吧！？
而接下来的时间。
刘兴明感觉自己的世界观正还在被颠覆着。
7分钟后，第二道题多项式代数题，完成！
在做完这道题后，林决只是轻轻呼出一口气，脸上没有一丝丝对这道难题的苦闷，只有对下一道未知难题的期待。
果然！这才是自己想要的酣畅淋漓的战斗啊！
又是10分钟过去，第三道数论完成！
终于，林决直面这张二试卷子的最后一道难题——组合。
林决清楚的知道。
这是二试得分率最低、耗时最长、不确定性最大的模块。
就算是顶尖的学生做完一道组合题，也需要一个小时以上的时间。
它的难和其他三道题有着本质区别 。
其他模块是 “用工具解题”，组合是“造工具解题”！
这道题没有公式，没有统一的知识框架。
它可能用到抽屉原理，可能用到图论，再可能用到算两次，甚至可能根本用不上任何定理......
就算林决学了再多技巧，可能在组合这道题上也没有一个能用的！
而在看完这道题的题干后。
林决再没有立马动笔。
而是罕见的开始思索起来......
他甚至能在脑子里预演了一遍这道题的过程。
先分三类集合，每类内部用抽屉，再算跨类交集，最后排除 8 种极端反例。
逻辑上肯定是走得通的，林决似乎轻易的抓住了脑海中的那个光点。
但他笔尖纸上写下第一步后，就没再写下去。
如果是这样的解法，似乎太丑陋了。
不是难，是臃肿。
就像用 100 根细铁丝拧成一根粗绳，能捆住东西，但毫无美感。
只要漏了任何一个情形，整道题就直接垮掉。
于是，他划掉刚才写下的 “分类 1：n≡0 mOd 3”。
刘兴明见到这一幕，心中也忍不住跟着紧张起来。
这是他第一次看到林决卷面有修改的痕迹，是终于把他难住了吗！？
不过他不知道的是，林决其实已经在脑子里把这道题最繁琐的解法过了一遍！
紧接着，他闭上了眼睛，脑海中的世界好像成了一个由无数字符组成的海洋。
林决踏足于这片海洋之中。
无数的定理，无数的知识碎片从他身边流淌，他也把【求知】的状态拉到了极限。
隐约中，林决好像看到无数字符组成一条带着刺目光芒的道路出现在眼前。
下一刻。
林决猛然睁眼。
“把每个元素都看作有限域 F₃上的一个三维向量呢？”
“把题干里“任意三个元素的和不为 0”这个约束，翻译成向量语言，不就是不存在三个两两正交的向量吗？”
这个念头冒出来后，林决的笑容就止不住了。
如此想着，林决终于动笔重新写下。
第一行，他写下了一个全场考生都看不懂的开头：
“引理：设 V 是有限域 F₃上的三维向量空间，则 V 中最多存在 4 个向量，使得其中任意三个向量都不两两正交。”
“证明：……”
没有分类，没有抽屉，没有繁琐的情形讨论。
他只是定义了一个向量空间，把原问题中的每个元素对应到一个向量，然后用正交性的基本性质，推导出了向量个数的上界。
整个证明过程只有 5 行，用到的全是线性代数最基础的定义，没有任何高深的定理。
但就是这 5 行，把原本需要 3 页纸的分类讨论，压缩成了一个干净利落的结论。
接着是构造。
林决写出了 4 个向量。
并且验证了它们满足正交性条件，然后对应回原问题的元素，构造出了达到上界的例子。
这一步同样非常简洁，林决只用了三行。
“最后，是结论了......”
当写下最后一步后，林决放下笔，又看了一遍整个过程，心中不由得成就感满满。
这种顶尖竞赛生需要用1个小时才能做完的题，他只用了三分钟就做完了！
甚至林决还觉得，自己的思路之刁钻，甚至有可能还没有人用他刚才的方法去解过这道题.....
念及于此，林决转头看了看已经完全傻眼的刘兴明，笑道，
“老师，我做完了！”
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其余四人还在对着一试填空题抓耳挠腮的时候，林决已经看完二试第一道大题的题干。
【如图，设△ABC 内接于圆 γ，∠BAC 的角平分线与 BC 交于点 D，P 为线段 AD 上一点，直线 BP 交 AC 于点 E，直线 CP 交 AB 于点 F，设圆 γ 在点 A 处的切线与直线 EF 交于点 Q；
求证：PQ∥BC。】
看完题干，林决脑海迅速反应出，这是一个典型的三线共点 + 切线 + 平行"问题，适合用同一法结合梅涅劳斯定理和塞瓦定理来证明。
直接证明 PQ∥BC 比较困难，所以林决采用的是同一法。
他笑了笑，抬笔快速写着。
“过点 P 作直线 l∥BC，交 AB 于 X，交 AC 于 Y，交 AQ 于 Q' 只需证明 Q' 与 Q 重合，即证 E、F、Q' 三点共线。”
再接着，利用位似与切线性质推导比例关系，又是一连串推导后。
得出Q'X/Q'Y = (BD/DC)² 。
下一步，应用塞瓦定理与梅涅劳斯定理。
再接着，转化比例关系。
最后，再将之前的几步式子分别代入推导。
【.....(YE/EA)・(AF/FX)・(XQ'/Q'Y) = (DC/BD)²・(BD/DC)² = 1
以上可证：E、F、Q' 三点共线，因此 Q' 就是直线 EF 与 AQ 的交点 Q。
因为 Q' 在过 P 且平行于 BC 的直线上，所以 PQ∥BC。】
6分钟后，第一道题完成！！！
看着已经写满了一整页的推导过程，林决只觉得神清气爽，差点忍不住轻哼起来。
这种题才对胃口啊！
在推导过程中只要稍微出现点偏差，便是满盘皆输，简直太刺激了！
简单检查一遍，确认整个过程没有任何纰漏之后，林决迫不及待看向了下一道题。
与此同时。
站在林决旁边，看着他把整道题做完的刘兴明已经懵了。
他抬手看了眼时间。
六分钟啊！这小子六分钟就做完了二试的一道题！？
要知道，虽然二试总共有四道题，但考试的时间却有近三个小时啊！
就算第一道是二试中最简单的，一般竞赛生分配到这道题的时间，也要接近半个小时了！
但林决呢！？只用了五分钟。
更让刘兴明觉得夸张的是，这五分钟还不是林决的极限。
因为这道题需要书写的步骤太多了！
在他视角中，林决仿佛是看完提干后，就在脑子里把整个解题完成了一样！
而且刘兴明刚才仔细看了看。
林决所有的步骤都是正确的，那几个明显有陷阱的地方，也被他轻易解决。
刘兴明扪心自问，如果是自己第一次面对这道题，恐怕至少也要二十多分钟才能解出来吧！？
而接下来的时间。
刘兴明感觉自己的世界观正还在被颠覆着。
7分钟后，第二道题多项式代数题，完成！
在做完这道题后，林决只是轻轻呼出一口气，脸上没有一丝丝对这道难题的苦闷，只有对下一道未知难题的期待。
果然！这才是自己想要的酣畅淋漓的战斗啊！
又是10分钟过去，第三道数论完成！
终于，林决直面这张二试卷子的最后一道难题——组合。
林决清楚的知道。
这是二试得分率最低、耗时最长、不确定性最大的模块。
就算是顶尖的学生做完一道组合题，也需要一个小时以上的时间。
它的难和其他三道题有着本质区别 。
其他模块是 “用工具解题”，组合是“造工具解题”！
这道题没有公式，没有统一的知识框架。
它可能用到抽屉原理，可能用到图论，再可能用到算两次，甚至可能根本用不上任何定理......
就算林决学了再多技巧，可能在组合这道题上也没有一个能用的！
而在看完这道题的题干后。
林决再没有立马动笔。
而是罕见的开始思索起来......
他甚至能在脑子里预演了一遍这道题的过程。
先分三类集合，每类内部用抽屉，再算跨类交集，最后排除 8 种极端反例。
逻辑上肯定是走得通的，林决似乎轻易的抓住了脑海中的那个光点。
但他笔尖纸上写下第一步后，就没再写下去。
如果是这样的解法，似乎太丑陋了。
不是难，是臃肿。
就像用 100 根细铁丝拧成一根粗绳，能捆住东西，但毫无美感。
只要漏了任何一个情形，整道题就直接垮掉。
于是，他划掉刚才写下的 “分类 1：n≡0 mOd 3”。
刘兴明见到这一幕，心中也忍不住跟着紧张起来。
这是他第一次看到林决卷面有修改的痕迹，是终于把他难住了吗！？
不过他不知道的是，林决其实已经在脑子里把这道题最繁琐的解法过了一遍！
紧接着，他闭上了眼睛，脑海中的世界好像成了一个由无数字符组成的海洋。
林决踏足于这片海洋之中。
无数的定理，无数的知识碎片从他身边流淌，他也把【求知】的状态拉到了极限。
隐约中，林决好像看到无数字符组成一条带着刺目光芒的道路出现在眼前。
下一刻。
林决猛然睁眼。
“把每个元素都看作有限域 F₃上的一个三维向量呢？”
“把题干里“任意三个元素的和不为 0”这个约束，翻译成向量语言，不就是不存在三个两两正交的向量吗？”
这个念头冒出来后，林决的笑容就止不住了。
如此想着，林决终于动笔重新写下。
第一行，他写下了一个全场考生都看不懂的开头：
“引理：设 V 是有限域 F₃上的三维向量空间，则 V 中最多存在 4 个向量，使得其中任意三个向量都不两两正交。”
“证明：……”
没有分类，没有抽屉，没有繁琐的情形讨论。
他只是定义了一个向量空间，把原问题中的每个元素对应到一个向量，然后用正交性的基本性质，推导出了向量个数的上界。
整个证明过程只有 5 行，用到的全是线性代数最基础的定义，没有任何高深的定理。
但就是这 5 行，把原本需要 3 页纸的分类讨论，压缩成了一个干净利落的结论。
接着是构造。
林决写出了 4 个向量。
并且验证了它们满足正交性条件，然后对应回原问题的元素，构造出了达到上界的例子。
这一步同样非常简洁，林决只用了三行。
“最后，是结论了......”
当写下最后一步后，林决放下笔，又看了一遍整个过程，心中不由得成就感满满。
这种顶尖竞赛生需要用1个小时才能做完的题，他只用了三分钟就做完了！
甚至林决还觉得，自己的思路之刁钻，甚至有可能还没有人用他刚才的方法去解过这道题.....
念及于此，林决转头看了看已经完全傻眼的刘兴明，笑道，
“老师，我做完了！”
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